矩陣運算入門：加法、乘法、行列式

發布於 2026/04/14 · 閱讀約 5 分鐘

矩陣就是排成方陣的數字表格。聽起來很抽象，但你手機螢幕上的每個像素、每個 3D 遊戲畫面、每個 AI 模型都仰賴矩陣來運算。

基本運算

加法（同維度才能加）

[1 2; 3 4] + [5 6; 7 8] = [6 8; 10 12]

對應位置直接相加。

純量乘法

3 × [1 2; 3 4] = [3 6; 9 12]

每個元素乘以同一個數。

矩陣乘法（最重要）

A 的列數必須等於 B 的行數。結果的大小 = A 的行數 × B 的列數。

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8] = [1×5+2×7 1×6+2×8; 3×5+4×7 3×6+4×8] = [19 22; 43 50]

注意：A×B ≠ B×A（矩陣乘法不可交換）。

行列式（方陣才有）

2×2 矩陣 [a b; c d] 的行列式 = ad − bc

範例：det[3 8; 4 6] = 3×6 − 8×4 = 18 − 32 = -14

行列式為 0 → 矩陣不可逆（沒有反矩陣），代表方程組可能無解或有無限多解。

矩陣的應用

• 3D 圖形：旋轉、縮放、平移都是矩陣乘法
• AI / 機器學習：神經網路的每一層都是矩陣運算
• Google PageRank：用巨大的矩陣計算網頁排名
• 工程：結構力學、電路分析都用矩陣解聯立方程